1. Schrödinger : quantifier1. Schrödinger: quantising

En 1926 Schrödinger cherche une équation d'onde dont les solutions stationnaires reproduisent les niveaux d'énergie de Bohr. Il la trouve, et elle fonctionne remarquablement bien. Mais elle porte un défaut structurel : elle est du premier ordre en temps et du second ordre en espace.In 1926 Schrödinger went looking for a wave equation whose stationary solutions would reproduce Bohr's energy levels. He found one, and it worked remarkably well. But it carries a structural flaw: it is first order in time and second order in space.

Cette asymétrie est fatale en relativité restreinte, où l'espace et le temps doivent apparaître sur le même pied. C'est exactement ce défaut qui motivera Dirac deux ans plus tard.That asymmetry is fatal in special relativity, where space and time must enter on the same footing. It is precisely this flaw that motivated Dirac two years later.

`pysic-rs` résout l'évolution par split-step Fourier (découpe de Strang) : l'opérateur cinétique est diagonal en $k$, le potentiel diagonal en $x$, et on alterne. Chaque facteur est unitaire, donc la norme est conservée par construction.`pysic-rs` evolves it with a split-step Fourier scheme (Strang splitting): the kinetic operator is diagonal in $k$, the potential diagonal in $x$, and you alternate. Each factor is unitary, so the norm is conserved by construction.

import numpy as np, pysicrs as ps

N, L = 1024, 80.0
dx = L / N
x = (np.arange(N) - N/2) * dx
psi0 = (1/(2*np.sqrt(np.pi)))**0.5 * np.exp(-x**2/8) * np.exp(1j*x)

re, im = ps.schrodinger_split_step_1d(
    psi0.real.tolist(), psi0.imag.tolist(),
    [0.0]*N, dx, dt=0.005, n_steps=200,
)

Pour les états liés, on diagonalise directement l'hamiltonien en différences finies. L'oscillateur harmonique donne $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ à $10^{-5}$ près, et les vecteurs propres recouvrent les fonctions de Hermite exactes à $10^{-9}$. Le $n$-ième état porte exactement $n$ nœuds — à condition de ne pas compter le bruit d'arrondi dans les queues classiquement interdites, où $|\psi|\sim10^{-300}$.For bound states we diagonalise the finite-difference Hamiltonian directly. The harmonic oscillator returns $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ to $10^{-5}$, and the eigenvectors overlap the exact Hermite functions to $10^{-9}$. The $n$-th state carries exactly $n$ nodes — provided you don't count round-off noise in the classically forbidden tails, where $|\psi|\sim10^{-300}$.

2. Dirac : la relativité force l'antimatière2. Dirac: relativity forces antimatter

Dirac veut une équation du premier ordre en temps et en espace, pour que la densité de probabilité reste positive. Il écrit $i\hbar\partial_t\psi = (c\,\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf p + \beta mc^2)\psi$ et exige qu'en l'itérant on retrouve la relation relativiste $E^2=p^2c^2+m^2c^4$. Cela impose :Dirac wanted an equation first order in both time and space, so that the probability density stays positive. He wrote $i\hbar\partial_t\psi = (c\,\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf p + \beta mc^2)\psi$ and demanded that iterating it recover the relativistic relation $E^2=p^2c^2+m^2c^4$. That forces:

Des nombres ne peuvent pas anticommuter. Les coefficients doivent donc être des matrices, et $\psi$ un spineur. Deux conséquences tombent sans avoir été postulées : le spin 1/2 apparaît dans la structure de l'équation, et le spectre contient une branche d'énergie négative. Dirac l'interprète en 1931 comme une nouvelle particule ; Anderson photographie le positron en 1932.Numbers cannot anticommute. So the coefficients must be matrices, and $\psi$ a spinor. Two consequences fall out without being postulated: spin 1/2 appears in the structure of the equation, and the spectrum contains a negative-energy branch. Dirac interpreted it in 1931 as a new particle; Anderson photographed the positron in 1932.

3. Zitterbewegung : voir l'antimatière battre3. Zitterbewegung: watching antimatter beat

Un état localisé n'est pas un état propre d'énergie : il superpose les deux branches. L'interférence entre elles produit le Zitterbewegung — le « tremblement » identifié par Schrödinger en 1930. À impulsion nulle le hamiltonien se réduit à $mc^2\sigma_x$, et l'évolution d'un état initialement dans la composante haute est exactement soluble :A localised state is not an energy eigenstate: it superposes both branches. Interference between them produces Zitterbewegung — the “trembling motion” identified by Schrödinger in 1930. At zero momentum the Hamiltonian reduces to $mc^2\sigma_x$, and the evolution of a state initially in the upper component is exactly solvable:

La population de la composante basse oscille donc à la pulsation de Compton $\omega_{\rm zb}=2mc^2/\hbar$ — environ $1{,}6\times10^{21}$ rad/s pour un électron. C'est une forme close, donc une note et non une illustration.The lower-component population therefore oscillates at the Compton frequency $\omega_{\rm zb}=2mc^2/\hbar$ — about $1.6\times10^{21}$ rad/s for an electron. It is a closed form, so it is a grade rather than an illustration.

4. Maxwell & Aharonov–Bohm : la phase devient physique4. Maxwell & Aharonov–Bohm: phase becomes physical

Maxwell unifie l'électricité et le magnétisme en 1865. Pendant près d'un siècle, les potentiels $(\phi,\mathbf A)$ passent pour de simples commodités de calcul : seuls $\mathbf E$ et $\mathbf B$ seraient physiquement réels, puisque seuls eux sont invariants de jauge.Maxwell unified electricity and magnetism in 1865. For nearly a century the potentials $(\phi,\mathbf A)$ were taken for calculational conveniences: only $\mathbf E$ and $\mathbf B$ were physically real, since only they are gauge invariant.

Aharonov et Bohm montrent en 1959 que c'est faux. Un électron contournant un solénoïde — dans une région où $\mathbf B=0$ partout sur son trajet — acquiert une phase mesurable. Chambers l'observe en 1960.Aharonov and Bohm showed in 1959 that this is wrong. An electron going around a solenoid — through a region where $\mathbf B=0$ everywhere along its path — picks up a measurable phase. Chambers observed it in 1960.

Le potentiel porte une information que les champs locaux ne contiennent pas. L'électromagnétisme est une théorie de jauge, et la quantité observable est une phase géométrique — le cas particulier, découvert avant l'heure, de ce que Berry généralisera en 1984.The potential carries information the local fields do not. Electromagnetism is a gauge theory, and the observable quantity is a geometric phase — an early special case of what Berry would generalise in 1984.

La quantification de l'enroulement n'est pas cosmétique : c'est elle qui rend l'effet AB robuste au désordre, et c'est le même invariant topologique qui réapparaît comme nombre de Chern dans l'effet Hall quantique — que `pysic-rs` calcule également, via l'équation de Harper qui dessine le papillon de Hofstadter du logo.The quantisation of winding is not cosmetic: it is what makes the AB effect robust to disorder, and it is the same topological invariant that reappears as the Chern number in the quantum Hall effect — which `pysic-rs` also computes, through the Harper equation that draws the Hofstadter butterfly in the logo.

5. ADM : la gravitation comme contrainte5. ADM: gravity as a constraint

En 1959, Arnowitt, Deser et Misner reformulent la relativité générale en découpant l'espace-temps en tranches spatiales. La métrique à quatre dimensions se décompose en une métrique spatiale $\gamma_{ij}$, une fonction lapse $N$ et un vecteur shift $N^i$.In 1959 Arnowitt, Deser and Misner recast general relativity by slicing spacetime into spatial hypersurfaces. The four-dimensional metric splits into a spatial metric $\gamma_{ij}$, a lapse function $N$ and a shift vector $N^i$.

Le résultat est frappant : les équations d'Einstein se scindent en six équations d'évolution et quatre contraintes qui ne contiennent aucune dérivée temporelle.The result is striking: Einstein's equations split into six evolution equations and four constraints containing no time derivative at all.

Autrement dit : le hamiltonien total de la relativité générale est une contrainte, $\mathcal H\approx0$. Il ne génère pas une évolution dans un temps extérieur — il n'y a pas de temps extérieur. C'est ce fait, anodin en apparence, qui produira le problème du temps en gravitation quantique.In other words: the total Hamiltonian of general relativity is a constraint, $\mathcal H\approx0$. It does not generate evolution in an external time — there is no external time. That innocuous-looking fact is what produces the problem of time in quantum gravity.

g = np.eye(3).tolist()          # tranche plate
K = np.zeros((3,3)).tolist()     # courbure extrinseque nulle

ps.hamiltonian_constraint(g, K, rho=1.0)   # -> -50.26548246  ==  -16*pi
ps.momentum_constraint(g, K, [0,0,0])      # -> [0.0, 0.0, 0.0]

# K_ij = c delta_ij  =>  H = K^2 - K_ij K^ij = 9c^2 - 3c^2 = 6c^2
ps.hamiltonian_constraint(g, (2*np.eye(3)).tolist(), 0.0)   # -> 24.0 == 6*2^2

6. Wheeler–DeWitt : quand le temps disparaît6. Wheeler–DeWitt: when time disappears

Si le hamiltonien est une contrainte, la quantification canonique — remplacer les observables par des opérateurs agissant sur une fonctionnelle d'onde de la géométrie — donne immédiatement $\hat{\mathcal H}\Psi=0$. C'est l'équation de Wheeler–DeWitt (1967).If the Hamiltonian is a constraint, canonical quantisation — replacing observables by operators acting on a wave functional of geometry — immediately gives $\hat{\mathcal H}\Psi=0$. This is the Wheeler–DeWitt equation (1967).

En minisuperespace, on gèle tous les degrés de liberté sauf le facteur d'échelle $a$. L'équation devient une EDO du second ordre, donc gradable :In minisuperspace you freeze every degree of freedom except the scale factor $a$. The equation becomes a second-order ODE, and therefore gradable:

Le potentiel s'annule au point tournant $a_t$, qui sépare le régime classiquement interdit de l'univers en expansion. Sa traversée par effet tunnel est le mécanisme de création d'univers de Vilenkin et de Hartle–Hawking. En linéarisant autour de $a_t$ on trouve $U\simeq-2\sqrt{3/\Lambda}\,(a-a_t)$, et l'équation se réduit à $\Psi_{zz}=z\Psi$ : c'est l'équation d'Airy.The potential vanishes at the turning point $a_t$, which separates the classically forbidden regime from the expanding universe. Tunnelling through it is the universe-creation mechanism of Vilenkin and of Hartle–Hawking. Linearising about $a_t$ gives $U\simeq-2\sqrt{3/\Lambda}\,(a-a_t)$, and the equation reduces to $\Psi_{zz}=z\Psi$: the Airy equation.

7. Quatre bugs, et comment ils ont survécu7. Four bugs, and how they survived

Écrire cet article a cassé notre propre bibliothèque. En gradant chaque solveur contre une forme close, quatre d'entre eux se sont révélés faux. Voici ce qu'ils étaient, et surtout pourquoi personne ne s'en était aperçu.Writing this article broke our own library. Grading each solver against a closed form exposed four of them as wrong. Here is what they were, and more importantly why nobody had noticed.

Le point communThe common thread

Aucun de ces quatre solveurs n'avait de test le confrontant à une valeur connue. Le seul test de Dirac vérifiait une autre fonction. Le test de Ricci, lui, existait — mais il passait au solveur une métrique constante, qui ignorait ses coordonnées : toutes les dérivées étaient nulles et $R$ s'annulait trivialement. Sa tolérance de $0{,}1$ aurait de toute façon admis l'artefact de $-0{,}02$.None of these four solvers had a test comparing it to a known value. Dirac's only test checked a different function. The Ricci test did exist — but it handed the solver a constant metric that ignored its coordinates: every derivative was zero and $R$ vanished trivially. Its tolerance of $0.1$ would have admitted the $-0.02$ artefact anyway.

Les quatre sont corrigés et couverts par des tests en forme close : puits infini contre le spectre discret exact, oscillateur harmonique contre $(n+\tfrac12)\hbar\omega$, conservation de la norme de Dirac, décroissance exponentielle pour RK45, et platitude de Ricci de Schwarzschild à $r$ et $\theta$ quelconques — plus un test de régression qui épingle l'artefact $-2/r^2$. 54 tests passent.All four are fixed and covered by closed-form tests: the infinite well against the exact discrete spectrum, the harmonic oscillator against $(n+\tfrac12)\hbar\omega$, Dirac norm conservation, exponential decay for RK45, and Schwarzschild Ricci flatness at arbitrary $r$ and $\theta$ — plus a regression test pinning the $-2/r^2$ artefact. 54 tests pass.

8. Reproduire8. Reproduce it

Tout ce qui précède tient dans un notebook exécuté de bout en bout : 11 cellules de code, 10 figures, chacune précédée de son théorème et suivie de sa lecture.Everything above fits in one end-to-end executed notebook: 11 code cells, 10 figures, each preceded by its theorem and followed by its reading.

pip install pysic-rs

git clone https://github.com/ThotDjehuty/pysic-rs
jupyter lab pysic-rs/notebooks/14_dirac_adm_wheeler_dewitt.ipynb